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Zehnerüberschreitung

Viele Wege führen über den Zehner!

Einige Anregungen zur Behandlung von Aufgaben mit Zehnerübergang im ersten Schuljahr

(Michael Gaidoschik, 2012)

 

1    Einleitung

Additionen und Subtraktionen mit Zehnerübergang (z.B. 7+8, 15-7)  werden in Österreich üblicher Weise im zweiten Halbjahr des ersten Schuljahres erarbeitet. In vielen heimischen Schulbüchern wird als Rechenstrategie für solche Aufgaben das sogenannte „Teilschrittverfahren“ mit „Zehnerstopp“ alternativlos vorgeschrieben („Rechne so!“).

Für die Lösung beispielsweise der Aufgabe 7 + 8 wird also in vielen Büchern als einziger Lösungsweg der folgende vorgegeben:

1. Schritt:   7 + 3 = 10   (dabei mitgedacht: 8 = 3 + 5)
2. Schritt: 10 + 5 = 15

Andere, mathematisch gleichfalls richtige Strategien zur Lösung dieser und ähnlicher Aufgaben kommen in den meisten derzeit verwendeten Schulbüchern entweder gar nicht vor oder werden erst zu einem sehr viel späteren Zeitpunkt nachgereicht.

Von dieser Art, Aufgaben mit Zehnerüber- und –unterschreitung im Unterricht zu behandeln, wird im folgenden Beitrag ganz entschieden abgeraten.

Für diese Ablehnung des „traditionellen“ Weges gibt es eine Reihe von handfesten, empi-risch gut untermauerten Gründen, die in Punkt 5 ausgeführt werden. Zuvor soll aber die Alternative deutlich gemacht werden. Es folgen also in Punkt 2 bis 4 einige knapp gehaltene, teils stichwortartig ausgeführte Empfehlungen zur Gestaltung des Unterrichts, die in abgewandelter Form aber ebenso als Anregung für die Förderung von Kindern mit besonderen Schwierigkeiten beim Rechnenlernen zu verstehen sind.

 

2    Der Einstieg: Eine Aufgabe mit Zehnerübergang stellen, Material zur Bearbeitung anbieten – und die Kinder selbst eine geschickte Strategie suchen lassen!

Zur Illustration der folgenden Empfehlungen sei hier zunächst ein Teil der Seite zur Erarbeitung des Zehnerübergangs aus dem „Zahlenbuch 1“ wiedergegeben (Wittmann & Müller, erstmals veröffentlicht 1994, hier aus der Österreich-Ausgabe von 2010, öbv-Klett; mit freundlicher Genehmigung des Verlags). (Für eine umfassendere Darstellung der weitgehenden Übereinstimmung der aktuellen deutschsprachigen Fachdidaktik bezüglich der Behandlung des Zehnerübergangs im Unterricht vgl. Gaidoschik 2010, S. 225f.)

Wie ersichtlich, wird im Zahlenbuch 1 vorgeschlagen, den Kindern nicht nur eine Strategie zur Bewältigung von Aufgaben mit Zehnerübergang vorzugeben, sondern im Unterricht eine Reihe von Möglichkeiten zu behandeln; Möglichkeiten dafür, wie man ohne zu zählen über den Zehner rechnen kann. Das Zehnerstopp-Verfahren ist eine dieser Möglichkeiten (Max rechnet so), aber eben nur eine, nicht die einzige…

Wie könnte die Umsetzung dieses Konzepts für einen EINSTIEG in die Behandlung des Zehnerübergangs im Unterricht konkret aussehen? Aus meiner Sicht ist dabei das Folgende zu beachten:

Zur Bedeutung von „Rechenkonferenzen“, speziell für den Zehnerübergang

 

3    Einige Anregungen im Detail zu einzelnen Strategien für den Zehnerübergang

Um ein mögliches Missverständnis zu vermeiden: Es geht nicht darum, dass sich jedes Kind jede der Strategien, zu denen im Folgenden einige kurze Erarbeitungshinweise gegeben werden, dauerhaft aneignet. Die Lehrkraft sollte, nach dem oben skizzierten Einstieg, die Kinder bei weiteren Aufgaben mit Zehnerübergang möglichst individuell beobachten. Sie sollte jene Kinder bestärken, die von sich aus nicht-zählende Wege finden. Sie sollte aber jenen Kindern, die das nicht tun und, auch sehr konkrete Anregungen geben. Welche Anregungen könnten dies sein?

3.1    Zehnerübergang mit der „Kraft der Fünf“

Gerade für Kinder mit Automatisierungs-Defiziten im Zahlenraum bis 10 ist die Strategie, die auf der oben wiedergegebenen Zahlenbuch-Seite von Mia und Simon gewählt wird, oft viel überzeugender und wird daher von diesen Kindern mit größerer Wahrscheinlichkeit schon im ersten Schuljahr angenommen: das sogenannte Rechnen mit der „Kraft der Fünf“ (vgl. Krauthausen 1995).

Dargestellt an der Verdoppelungsaufgabe 8 + 8: Kinder, die von sich aus keinen nicht-zählenden Weg für diese Aufgabe finden, können aufgefordert werden, in Partnerarbeit jeweils 8 Finger auszustrecken; dann zu überlegen, wie man, ohne zu zählen, draufkommen könnte, wie viele Finger das nun insgesamt sind.

Als Strategie ergibt sich für viele Kinder „wie von selbst“, dass sie zunächst die beiden „vollen Hände“, also 5+5 zusammenrechnen, dann 3+3. Beide Verdoppelungsaufgaben sollten zu diesem Zeitpunkt bereits automatisiert sein. Nun müssen die Kinder freilich noch 10+6=16 wissen; ist dies nicht der Fall, dann heißt es: am Verständnis zweistelliger Zahlen als Zusammensetzungen aus Zehnern und Einern (bzw. der Zahlen von 11 bis 19 als Zusammensetzung aus 10 + …) zu arbeiten.

Die Strategie „Kraft der Fünf“ bietet sich insbesondere für die Verdoppelungen von 6+6 bis 9+9 an und sollte zunächst an diesen Aufgaben durchgespielt werden; zunächst noch ohne Aufschreiben. In weiterer Folge wird es sinnvoll sein, parallel zur (oder unmittelbar nach der) Durchführung mit Händen eine schriftliche Form zu finden, in der sich die Handlung widerspiegelt.

(Wie viel davon wirklich vom Kind aufgeschrieben wird; ob zusätzlich auch noch die Zwischenresultate 10 und 6 aufgeschrieben werden; das sollte möglichst individuell mit dem Kind abgeklärt werden. Manche Kinder werden durch zu viel Schriftliches eher verwirrt bzw. vom Denken abgelenkt, für andere ist es ein wichtiger Halt…).

Die Strategie „Kraft der Fünf“ eignet sich grundsätzlich für alle Aufgabe, bei denen beide Summanden größer/gleich 5 sind (also für fast alle Aufgaben mit Zehnerübergang; ausgenommen sind 7+4, 8+4, 8+3, 9+4, 9+3, 9+2 und deren Tauschaufgaben):

3.2    Zehnerübergang durch „Verdoppeln plus eins“ / „Verdoppeln minus eins“

Vieles spricht dafür, gezielt daran zu arbeiten, dass die Verdoppelungen auch von 6+6 bis 9+9 (wie zuvor schon die Verdoppelungen 2+2 bis 5+5) möglichst bald von möglichst allen Kindern automatisiert werden. Die Strategie „Kraft der Fünf“ kann ein guter Einstieg in das nachfolgende Automatisieren gerade der Verdoppelungsaufgaben sein; Näheres zum Automatisieren siehe etwa bei Gaidoschik 2007.

Wenn Kinder aber die Verdoppelungen 6+6 bis 9+9 automatisiert haben, bietet sich als Strategie für viele Aufgaben mit Zehnerübergang „Verdoppeln plus eins“ bzw. „Verdoppeln minus eins“ an, eventuell auch „Verdoppeln plus zwei“ bzw. „Verdoppeln minus zwei“. Auf der oben wiedergegebenen Zahlenbuchseite ist das die Strategie von Lara: Sie denkt bei 7+8 an 7+7, weil sie 7+7 eben schon auswendig weiß: 14. 7+8 muss dann 15 sein, „um 1 mehr“.

Zum Materialeinsatz bei der Erarbeitung dieser Strategie siehe unten unter 4.

3.3    Zehnerübergang mit der „Kraft der Zehn“ („Zehnertrick“)

In analoger Weise lassen sich Additionen mit dem Summanden 9 (eventuell auch mit dem Summanden 8 ) aus Additionen mit dem Summanden 10 ableiten: Ein Kind, dass 7+10 als „leicht“ empfindet und sofort „17“ als Ergebnis weiß, wird vielleicht von selbst (oder mit ein wenig Anleitung; siehe dazu weiter unten) draufkommen, dass dies für die Lösung von 7+9 hilft (7+9 ist nur um 1 weniger als 7+10).

Details zur Erarbeitung folgen im Kapitel zum Materialeinsatz.

3.4    Zehnerübergang mit dem „Teilschrittverfahren“ („Zehnerstopp“)

Natürlich ist auch das (den meisten Erwachsenen vertraute) Zehnerstopp-Verfahren eine großartige Strategie, um Aufgaben mit Zehnerübergang nicht-zählend zu lösen. Ehe man Kindern das Zehnerstopp-Verfahren zu vermitteln versucht, sollte man aber überprüft haben, ob diese Kinder auch über alle Voraussetzungen verfügen, die man braucht, um das Rechnen mit Zehnerstopp als Universalverfahren attraktiv zu finden (also nicht nur bei dafür besonders günstig geeigneten Aufgaben wie 5+6 oder 5+8, wo es mit der Strategie „Kraft der Fünf“ zusammenfällt). Wenn aber Kinder eine Strategie nicht selbst als attraktiv empfinden, wenn sie nicht einen Vorteil dabei verspüren, wenn sie so rechnen, dann werden sie in aller Regel auch nicht so rechnen!

 

Was sind nun die Voraussetzungen, die man für das Zehnerstoppverfahren benötigt?

 

Daher noch einmal als  Warnung, zusammengefasst:

Wenn nun aber Kinder die nötigen Voraussetzungen haben, spricht vieles dafür, auch das Zehnerstopp-Verfahren gezielt im Unterricht zu erarbeiten.

 

Wesentliche Argumente für die Zehnerstopp-Strategie:

Sie ist als einzige nicht-zählende Strategie für Aufgaben mit Zehnerübergang universell einsetzbar, unabhängig von den besonderen Zahlen.

Die Zehnerstopp-Strategie „gezielt erarbeiten“ heißt unter anderem:

In weiterer Folge ist zu bedenken:

4    Einige Hinweise zum Einsatz von Material bei der Erarbeitung des Zehnerübergangs

4.1    Allgemeine Überlegungen zum Materialeinsatz

 

4.2    Sinnvoller Einsatz von 20er-Feld/Eierkartons/Rechenschiffchen…

Was bedeuten oben stehende allgemeine Überlegungen in der konkreten Umsetzung? Am Beispiel der Aufgabe 7+7 skizziert:

Auch für die Erarbeitung der Strategie „Verdoppeln plus ein“ (siehe oben unter 1.3.2) sind Rechenschiffchen, Zwanzigerfeld, Eierschachteln… gut geeignet; auch hier kommt es aber entscheidend darauf an, welche Handlungen mit diesem Material angeregt werden. Dazu in aller Kürze (Näheres bei Gaidoschik 2007):

4.3    Sinnvoller Einsatz des 20er-Rechenrahmens

Wilhelm Schipper favorisiert für die Erarbeitung des Zehnerübergangs den Einsatz des 20er-Rechenrahmens. Dazu in aller Kürze (Näheres bei Schipper 2009):

 

5    Probleme bei der traditionellen Behandlung des „Zehnerübergangs“

Zum „Teilschrittverfahren“ mit „Zehnerstopp“ hält Krauthausen schon 1995 fest, dass es, „was die erforderlichen Teilleistungen betrifft, das anspruchsvollste“ Verfahren für die Zehnerüberschreitung sei. Er berichtet im selben Aufsatz von den „Klagen“ vieler Lehrer/innen darüber, „welche Schwierigkeiten Kinder damit [dem Teilschrittverfahren] hätten“, und hält dazu fest: „Teilweise handelt es sich dabei um ‚hausgemachte‘ Probleme – insbesondere dann, wenn die Kinder auf ein Verfahren festgelegt werden“ (Krauthausen 1995, S. 87f.)

In einer eigenen empirischen Studie (Gaidoschik 2010) habe  ich eine Zufallsauswahl von 139 Kindern (NÖ) unter anderem zu ihren Strategien bei Aufgaben mit Zehnerübergang interviewt. Im Unterricht dieser Kinder wurde (im Einklang mit den verwendeten Schulbüchern, s.o.) für solche Aufgaben ausschließlich das Teilschrittverfahren mit Zehnerstopp behandelt. Am Ende des ersten Schuljahres zeigte sich bei den interviewten Kindern die folgende Strategieverteilung (bei insgesamt 7 Aufgaben mit Zehnerübergang):

Nur etwa 28 % der Kinder dieser Stichprobe bewältigten solche Aufgaben also nicht-zählend. Mehr als die Hälfte griff zu Zählstrategien, weitere 11 % zeigten sich bei solchen Aufgaben gänzlich überfordert.

Jene Kinder aber, die nicht-zählend über den Zehner rechneten, wählten dafür keineswegs nur das Zehnerstopp-Verfahren (also jenes Verfahren, das sie im Unterricht kennen gelernt hatten). So rechneten etwa 72 % der Kinder, die 6+7 nicht-zählend bewältigten, diese Aufgabe mit der Strategie „Verdoppeln plus 1“ bzw. „Verdoppeln minus 1“ (also 6+6=12, deshalb 6+7=13 bzw. 7+7=14, deshalb 7+8=15). Bei der Aufgabe 8+8 rechnete überhaupt nur 1 (ein!) Kind von 139 im Zehnerstoppverfahren (8+2+6), dafür aber etwa zwei Kinder mit dem Verfahren „Kraft der Fünf“ (8+8=5+5+3+3, 5+5=10, 3+3=6, deshalb 8+8=16), welches im Unterricht NICHT behandelt worden war.

Fazit:

 

Zählendes Rechnen am Ende des ersten Schuljahres ist aber nichts Harmloses, nichts, was von Volksschullehrkräften einfach so hingenommen werden sollte, denn:

„Wird zählendes Rechnen verfestigt, stellt es eine Sackgasse dar, aus der die Schüler im 2. oder im 3. Schuljahr kaum mehr herauskommen.“  J.H. Lorenz / H. Radatz, 1993

Daher: Siehe die Empfehlungen in den Punkten 2 bis 4!!!

6    Literatur zum Zehnerübergang

Siehe die entsprechenden Kapitel in

GAIDOSCHIK, Michael (2007):  Rechenschwäche vorbeugen – Erstes Schuljahr: Vom Zählen zum Rechnen.- Wien: G&G.

KRAUTHAUSEN, Günter & SCHERER, Petra (2007): Einführung in die Mathematikdidaktik.- Heidelberg – Berlin: Spektrum, 2. Auflage.

PADBERG, Friedhelm & BENZ, Christiane (2011): Didaktik der Arithmetik.- Heidelberg: Spektrum.

RADATZ, Hendrik & SCHIPPER, Wilhelm, EBELING, Astrid & DRÖGE, Rotraut (1996): Hand-buch für den Mathematikunterricht, 1. Schuljahr.- Hannover: Schroedel.

SCHIPPER, Wilhelm (2009): Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen.- Braunschweig: Schroedel.

WITTMANN, ERICH CH.  &  MÜLLER, GERHARD N. (1994): Handbuch produktiver Rechen-übungen, Band 1.- Stuttgart – Düsseldorf – Berlin – Leipzig: Klett, zweite, überarbeitete Auflage.

Zum theoretischen Hintergrund:

GAIDOSCHIK, Michael (2010): Wie Kinder rechnen lernen – oder auch nicht. Eine empirische Studie zur Entwicklung von Rechenstrategien im ersten Schuljahr.- Frankfurt/Main: Peter Lang.

KRAUTHAUSEN, Günter (1995): Die “Kraft der Fünf” und das denkende Rechnen.- In: MÜLLER, Gerhard N.  &  WITTMANN, Erich CH. ( Hrsg.): Mit Kindern rechnen.- Arbeitskreis Grundschule – Der Grundschulverband e.V.: Frankfurt & Main, S. 87–108.